Virtude e Vício entre o Infinito – Por que Séries Infinitas de Magnitude Extensivas são possíveis e as de Magnitude Intensivas são impossíveis?

Autor: Michael Huemer

Tradução: David Ribeiro

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Resumo

Aqui, respondo quando os infinitos são possíveis e quando são impossíveis.

[Baseado em: “Virtude e Vício entre os Infinitos”, pp. 87-104 em Ad Infinitum: Novos Ensaios sobre o Infinitismo Epistemológico, ed. John Turri e Peter Klein (Oxford University Press, 2014). Posteriormente elaborado em Approaching Infinity.]

1. O Problema do Infinito Impossível

Existem muitos paradoxos desconcertantes envolvendo o infinito, mas não posso apresentá-los todos aqui. (Há 17 deles no meu livro.) Aqui, vou contar apenas dois que podem ser explicados rapidamente:

a. O paradoxo da dicotomia de Zenão

Um objeto quer se mover do ponto A para o ponto B. Antes de chegar ao ponto B, ele deve primeiro percorrer metade da distância. Depois, deve percorrer metade da distância restante. Em seguida, metade da distância restante novamente. E assim por diante. Trata-se de uma série infinita. Portanto, o objeto nunca consegue chegar ao ponto B.

É mais ou menos assim que as pessoas costumam formular o problema. Mas como chegamos à última etapa? Aqui estão mais alguns detalhes: digamos que "1/2" se refira a ir até a metade do caminho, "3/4" a ir até a marca de três quartos, etc.:

1. Para chegar ao ponto B, o objeto deve completar a série [1/2, 3/4, 7/8, …].

2. [1/2, 3/4, 7/8, …] é uma série infinita.

3. É impossível completar uma série infinita. Pois:

a. Para completar uma série, é preciso chegar ao seu fim.

b. Uma série infinita não tem fim.

c. Não é possível chegar ao fim de uma série que não tem fim.

4. Portanto, o objeto não pode completar a série [1/2, 3/4, 7/8, …]. (De 2, 3)

5. Portanto, o objeto não pode chegar ao ponto B. (De 1, 4) Mas o ponto B pode ser qualquer ponto arbitrário (distinto de A); logo:

6. Nenhum objeto pode ir a lugar algum. (De 5)

A conclusão é absurda, visto que sabemos que os objetos se movem. O que deu errado?

b. A Lâmpada de Thompson

Este exemplo vem de James Thompson (marido de Judith Thompson, caso você esteja se perguntando). Há uma lâmpada que começa acesa ao meio-dia. Após meia hora, alguém a desliga. Após mais um quarto de hora, ela é ligada novamente. Depois, desligada após um oitavo de hora, ligada após um dezesseis avos de hora, e assim por diante. Pergunta: Às 13h, a lâmpada estará acesa ou apagada?

Parece que deveria haver uma resposta para isso, mas nenhuma resposta parece correta. Thompson apresenta dois argumentos:

- A lâmpada começou acesa e nunca foi desligada sem ser ligada novamente em seguida. Portanto, ela deve estar acesa no final.

- A lâmpada foi desligada às 12h30 e, depois disso, nunca foi ligada sem ser desligada novamente em seguida. Portanto, ela deve estar apagada no final.

Assim, existem argumentos aparentemente convincentes para respostas opostas. Thompson acredita que isso demonstra que o cenário da lâmpada é (metafisicamente) impossível.

Resposta alternativa: Pode-se dizer que é indeterminado. A descrição do cenário aborda apenas o que aconteceu com a lâmpada entre as 12h e as 13h, não o que aconteceu exatamente às 13h. Portanto, logicamente, a lâmpada poderia fazer qualquer coisa, ou estar em qualquer estado, às 13h, de forma consistente com tudo o que consta na descrição. Logo, é indeterminado. (Essa é a posição de Benacerraf, que Thompson mais tarde aceitou erroneamente.)

Réplica: Ninguém consideraria tal afirmação satisfatória para qualquer pergunta contrafactual comum. Normalmente, quando questionados sobre "o que aconteceria" em determinado cenário, não pensamos que a descrição do cenário precise implicar a resposta; caso contrário, consideraríamos a situação indeterminada.

Ex.: Suponha que haja uma lâmpada comum que começa acesa. Alguém entra e a desliga. Ninguém e nada mais faz qualquer outra coisa com ela. Uma hora depois, em que estado estaria essa lâmpada?

Observe que a descrição não implica logicamente que a lâmpada estaria apagada. É logicamente possível que a lâmpada esteja acesa ou apagada, que exploda ou que se transforme em um morcego e saia voando. Mas sabemos o que aconteceria. O que aconteceria é que ela estaria apagada.

Se você fornecer uma descrição completa do estado inicial da lâmpada e de tudo o que é feito com ela durante um certo período, isso normalmente permite dizer em que estado ela estará ao final. Não importa que seja logicamente possível que ela esteja em qualquer estado ao final.

c. O meta-quebra-cabeça

Você acabou de ler sobre dois paradoxos. Eis outro quebra-cabeça resultante da comparação entre eles:

- A solução para o Paradoxo de Zenão parece consistir em rejeitar a premissa (3). Ou seja, argumentar que é possível completar uma série infinita, visto que fazemos isso toda vez que nos movemos.

- A solução para o Paradoxo da Lâmpada de Thompson parece ser a de que a lâmpada é impossível, como sugeriu Thompson. Por quê? Aparentemente, porque é impossível completar uma série infinita.

Ou seja, a resposta para o primeiro paradoxo é a negação da resposta para o segundo.

Bem, presumivelmente não é bem assim. Na verdade, esse par de exemplos mostra que algumas séries infinitas podem ser completadas, enquanto outras não. Por que a série de Zenão pode ser completada, mas a série da Lâmpada de Thompson não? À primeira vista, as duas séries são muito semelhantes entre si; eis, portanto, o quebra-cabeça.

2. O infinito impossível

a. Outros infinitos

Existem outros tipos de infinito além das séries infinitas; existem grandezas infinitas. Algumas delas são amplamente consideradas problemáticas, enquanto outras não. Por exemplo, o centro de um buraco negro é, segundo a relatividade geral, uma singularidade — um ponto de densidade de energia infinita e, consequentemente, de curvatura espaço-temporal infinita. Isso é amplamente visto como um problema, e parte do objetivo das pesquisas em gravidade quântica é justamente eliminar esses infinitos.

Por outro lado, ninguém parece se incomodar com a ideia de que o espaço seja infinitamente extenso ou infinitamente divisível, ou de que o tempo seja infinitamente extenso e infinitamente divisível. Tampouco há objeções à ideia de uma infinidade de números, ou de uma coleção infinita de universos paralelos, etc.

Novamente, surge um enigma: por que alguns infinitos são problemáticos, enquanto outros não?

b. Grandezas intensivas naturais

Esses enigmas têm uma resposta básica: é impossível que algo possua uma grandeza intensiva natural infinita.

Existem três tipos de quantidades (coisas representadas por números):

- Números cardinais: São números de contagem; respondem à pergunta "quantos?". Ex.: 1, 2, 3, etc.

- Grandezas: São o tipo de quantidade representada por números reais; respondem à pergunta "quanto?". Elas se dividem em dois subtipos:

1 - Grandezas extensivas: São, basicamente, grandezas aditivas. Ex.: comprimento, duração, massa. Se a metade esquerda de uma vara tem 1 pé e a metade direita também tem 1 pé, então a vara inteira tem 2 pés.

2 - Grandezas intensivas: São não aditivas. Ex.: temperatura, densidade de massa. Se a metade esquerda da sua xícara de café está a 120 graus e a metade direita está a 120 graus, não se pode dizer que a xícara está a 240 graus.

Um conjunto pode ter cardinalidade infinita, e algo pode ter uma grandeza extensiva infinita. Mas nada pode ter uma grandeza intensiva infinita. Isso explica os casos acima:

1. A lâmpada de Thompson: Toda vez que você aciona o interruptor, precisa movê-lo mais rápido do que na vez anterior. Como resultado, a energia necessária aumenta sem limites. Para completar toda a série infinita, é necessária uma região do espaço-tempo com densidade de energia infinita. Além disso, o interruptor precisaria ser feito de um material com resistência infinita. Ambas são grandezas intensivas; portanto, isso é impossível.

2. O paradoxo de Zenão: A série de Zenão contém um número infinito de etapas, mas trata-se apenas de uma cardinalidade infinita. Todas as grandezas físicas da história permanecem finitas. A energia, a velocidade, a distância, a duração, etc., são todas finitas. Não há grandeza intensiva infinita, logo, não há problema.

3. Singularidades: Apresentam densidade de energia infinita, o que é impossível.

4. Espaço e tempo: São infinitamente extensos, o que constitui, naturalmente, uma grandeza extensiva. Elas também são infinitamente divisíveis, o que implica uma cardinalidade infinita: uma região do espaço-tempo contém um número cardinal infinito de partes. Não há aqui nenhuma grandeza intensiva.

Meu livro analisa muitos outros casos. Sustento que a mesma teoria central explica todos — ou quase todos — os exemplos de infinitos possíveis e impossíveis.

Observação: Podemos também distinguir esses dois tipos de grandezas:

- Grandezas artificiais: São grandezas que, intuitivamente, são apenas "inventadas" por nós, tipicamente mediante a realização de operações matemáticas arbitrárias sobre as grandezas reais presentes na natureza. Ex.: você pode definir uma quantidade igual a 1 dividido por 3 menos a sua massa em quilogramas. Isso é artificial.

- Grandezas naturais: São as grandezas reais que existem na natureza, e não as artificiais que inventamos. Um bom critério de naturalidade é verificar se a grandeza desempenha um papel causal ou se figura nas leis da natureza. Ex.: massa, densidade de energia, temperatura, comprimento, duração.

Não importa se uma grandeza artificial é "infinita". Se definirmos uma grandeza artificial, podemos sempre estabelecer regras para que ela se torne infinita em certos casos, mas isso não tem relevância. O que nos interessa são as grandezas naturais. Portanto, a teoria acima trata apenas de grandezas naturais impossíveis.

3. Explicação

Por que apenas as grandezas intensivas infinitas seriam impossíveis, enquanto os outros tipos de infinito seriam possíveis?

A explicação subjacente é a seguinte:

1. Não existem números infinitos. Isto é, não existe um número maior do que todo número natural ou maior do que todo número real. Por quê?

- Um número é uma quantidade definida.

- “Infinito” não designa uma quantidade definida; em vez disso, “infinito” significa algo como “sem limite”. Considere que, se você somar 1 ao infinito, continua tendo infinito. Mas uma quantidade definida não pode permanecer inalterada quando aumentada em 1.

- Portanto, o infinito não é um número.

2. A noção de “cardinalidade infinita” pode ser explicada sem postular números infinitos. A saber: um conjunto possui cardinalidade infinita quando, para todo número natural *n*, ele contém um subconjunto com pelo menos *n* elementos. Isso não postula nenhum número maior do que todos os números naturais.

3. A “grandeza extensiva infinita” pode, da mesma forma, ser explicada sem tais números. Por exemplo, o espaço é infinitamente grande se: para todo número real *r*, existe uma região do espaço com um volume de pelo menos *r* litros. Isso não requer nenhum número maior do que todos os números reais.

4. Grandezas intensivas infinitas não poderiam ser explicadas de maneira semelhante. Por exemplo, se dizemos que uma singularidade tem densidade de energia infinita, estamos, na verdade, dizendo que a densidade de energia é uma quantidade única maior do que todo número real. Isso é impossível, uma vez que não existem números maiores do que todos os números reais.

É por isso que não podem existir grandezas intensivas infinitas.